考研数学中有关于级数的知识点是非常重要的,并且,无穷级数作为一个比较热门的被研究对象,被广泛地应用在天文和物理中。

无穷级数最早是起源于数学支的,在很早很早以前,无穷级数出现在哲学与逻辑的悖论中,并且,古今中外以来,有许多的数学家和物理学家都对无穷级数有着比较深刻的研究,例如,阿基里斯、阿基米德、奥雷姆、韦达和门戈里都经过了大量的计算来证明出无穷级数的性质,而阿基米德主要是通过求抛物线的弦截面积,而有限且严格的证明出了无穷级数。

无穷级数理论部分真正的发端,其实是起源于中世纪时期以奥雷姆为代表的一些数学家们,奥雷姆利用公式和定理证明出了一个定理:当无穷级数的项数逐渐减少且不成正比时,它的和也可以是无穷的。

在14世纪的时候,尼克尔·奥里斯姆就证明出来了调和级数是发散的,但是却很少有人知道。到了17世纪,数学家们逐渐的打破了对于无穷的许多禁忌,并且开始应用无穷级数来作为表示数量的工具,也研究了许多类型的无穷级数求和方法,并且,皮埃特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了所有的证明工作。

从1800年起,便依次开始涌现出各种各样的无穷级数求和方法,例如弗罗宾尼乌斯求和法等等。

到1821年的时候,柯西在他的《分析教程》这本书中,给出了级数收敛的精确定义和柯西收敛准则,随后出现了许多关于收敛与否的判断方法。到目前为止,无穷级数的理论部分比较成熟,理论体系基本上算是完备。

无穷级数理论至此就完全成熟不需要继续发展了吗?实际上不是这样的。在近代数学发展过程中,数学家们发现排斥发散级数所付出的代价太大了,他们开始寻求更合理的发展和利用发散级数的新途径。因此,在19世纪末20世纪初,无穷级数理论又开辟了一个新的研究方向,那就是发散级数的“求和问题”。这个理论看似匪夷所思,其实在整个18世纪,数学家和天文学家在知道某些级数发散的前提下依然使用着它们,他们使用这些发散级数的前有限项来进行函数逼近,并且效果明显,甚至此时期的很多数学家认为不论收敛或发散,所有的无穷级数都是有和的。

发散级数的神奇效果使得后来的数学家们相信,一定有某种特性存在,只要加以提炼,就会显示出为什么它们会提供如此有效的逼近。